В предыдущем номере нашего журнала мы открыли рубрику Упражнение для мозгов – занимательный мир головоломок.
В первой статье мы провели краткий обзор, дали определение и привели классификацию существующих в мире механических головоломок.
В предыдущем номере нашего журнала мы открыли рубрику Упражнение для мозгов – занимательный мир головоломок.
В первой статье мы провели краткий обзор, дали определение и привели классификацию существующих в мире механических головоломок. В этом и последующих выпусках мы рассмотрим более подробно классы головоломок и проиллюстрируем их на примерах зарубежных и отечественных разработок.
Головоломки на складывание - это самый большой и старейший класс. К нему относятся около трети всех изобретённых и выпущенных в мире механических головоломок. За рубежом такие головоломки называются Put-Together Puzzles. Задачей в них является собрать объект из составных элементов таким образом, чтобы он отвечал некоторым дополнительно заданным условиям (создать определённую конфигурацию, вместить в заданные габариты, обеспечить «неперемещаемость» элементов и т.п.)
Головоломки этого класса в свою очередь можно разделить на двумерные и объемные.
Двумерные (или плоскостные) головоломки на складывание
В этом семействе - выдержавший испытания веков Танграм, а также Разрезные картинки (пазлы), Полиформы, Полимино, всевозможные современные вариации на эти темы.
Самый многочисленный представитель класса «головоломок на складывание» - разрезные картинки, или Jig-saw puzzles, (известные сейчас в России под названием «пазлы»). Они были изобретены около 1760 года англичанином Джоном Спилсбери. Первые такие головоломки разрабатывались как развивающие игрушки. Изготавливались они так: к тонким листам красного дерева приклеивались географические карты, затем такой слоёный пирог разрезался.
К старейшему поколению плоскостных головоломок относятся и складушки. За рубежом они называются Card Matching Puzzles. В складушках квадратные фишки (обычно 9 штук, иногда 16) нужно расположить так, чтобы их углы или стороны подходили друг к другу. Первая головоломка такого типа была запатентована в 1893 г Терстоном (E. L. Thurston). С 1920 года складушки широко выпускаются промышленностью на Западе для рекламы автомобилей, банков, различных товаров.
В 1996 году Джек Хаубрич (Jacques Haubrich) из нидерландского города Эйндховена издал сборник «Compendium of Card Matching Puzzles», где описал более тысячи образцов складушек, выпущенных в мире к этому времени. Джек Хаубрич разработал стройную систему классификации складушек, которые он разделил на 6 типов и 136 групп.
Среди отечественных головоломок этого семейства - картонные «Жучки и Бабочки», «Забавные мячи», пластиковые «Складушки 3х3», «Морское Путешествие 2х4» и др.
«Златая Цепь» (авт. В. Красноухов, худ. И. Явнель). Задачи: 1) собрать одну замкнутую цепочку, 2) собрать три замкнутые цепочки. Задача решалась на 4-м Чемпионате России по пазлспорту (Москва, 2001). Из 25 участников лучшее время решения - 4 минуты, среднее время решения - 8 минут.
К семейству плоскостных головоломок на складывание относится обширная группа головоломок с общим названием полимино. Этот термин в 1953 году ввёл в употребление американский математик Соломон Голомб, в то время аспирант Гарвардского университета. По аналогии с классическим «домино» - прямоугольником, составленным из двух квадратов, Голомб назвал фигуры, составленные из трёх квадратов - тримино, из четырёх - тетрамино, из пяти - пентамино. Фигуры, составленных из 6, 7, 8 и 9 единичных квадратов называются соответственно гекса-, гепта-, окто- и наномино.
«Три-с-половиной-мино» (авт.В.Красноухов). Каждая фигура из этого «новогоднего поздравления» собрана из одного и того же набора элементов.
Наиболее популярным представителем полимино является пентамино. В нашей стране расцвет этой головоломки наступил после 1975 года благодаря публикациям в журнале «Наука и жизнь», где тема полимино стала едва ли не постоянной рубрикой. В решение задач живо включились многочисленные читатели, которые не только успешно решали (а иногда и опровергали) самые изощрённые задания, но и активно предлагали свои. После публикаций выяснилось, что есть и наш отечественный изобретатель пентамино - ленинградец Н. Д. Сергиевский, предложивший эту головоломку ещё в 1935 году под названием «12 по 5». В 1951 году эта головоломка участвовала во Всесоюзном конкурсе детской игрушки. С тех пор пентамино многократно выпускалось предприятиями, как правило, из пластмассы в виде набора фишек, уложенных в прямоугольную коробочку 6х10, к которой прилагалась инструкция с задачами различной сложности.
Существует множество красивых задач с пентамино. Классическими являются проблемы покрытия прямоугольников размерами 6х10, 5х12, 4х15 и 3х20 с использованием набора из всех 12 элементов пентамино. (Последняя задача – покрытие 3х20 - является наиболее сложной в этом ряду).
Одностороннее шахматное пентамино. Исчерпывающий набор - 36 элементов. Покрытие 10х18.
Зачастую используется не полный набор элементов полимино, а его часть, или даже отдельные элементы. Так, головоломка «Орнамент» Алексея Костюкова из г. Пскова состоит всего из четырёх одинаковых элементов наномино, которые надо разместить в квадратной коробочке.
«Орнамент» (авт. А Костюков). Задача: разместить в коробочке четыре заданных элемента. Решение не сложное, но красивое.
Следующий представитель этого семейства - головоломки на разрезание и складывание. Существенный вклад в разработку этого направления занимательной математики внесли Гарри Линдберг (Австралия) и Грег Фредериксон (США). Доказано, что путём разрезания любой многоугольник можно преобразовать в квадрат, и, наоборот, квадрат – в любой многоугольник. Отсюда следствие – любой многоугольник можно преобразовать в любой другой многоугольник. Например, 7-угольник можно разрезать так, что из полученных частей можно будет сложить 13-угольник. Другой вопрос, сколько при этом получится деталей, а, следовательно, будет ли такая головоломка интересной. Ведь опыт показывает, что наиболее занимательны как раз те головоломки, которые не содержат много деталей и внешне кажутся простыми. Так, Геннадию Ярковому из г. Тольятти для решения задачи «квадратуры» пятиугольника удалось обойтись всего пятью элементами.
«Квадратура пятиугольника» (авт. Г. Ярковой). Правильный пятиугольник разрезается на части, из которых можно собрать квадрат. Или «почти» квадрат?
Самое молодое, на мой взгляд, семейство головоломок – укладки с неконкретным силуэтом.
Это так называемые «симметриксы», в которых необходимо «из заданных элементов собрать симметричную фигуру» (при этом силуэт фигуры не приводится, вид симметрии не указывается). А также «покрывашки», в которых надо «составить из заданных элементов фигуру, которую можно покрыть другими заданными элементами (силуэт фигуры не приводится). Как и во всех плоскостных укладках, элементы можно как угодно перемещать, поворачивать, переворачивать, но нельзя накладывать друг на друга.
«Законодателями моды» здесь явились японские изобретатели Йошиюки Котани (Yoshiyuki Kotani), Тадао Китазава (Tadao Kitazawa), Наоюки Ивазе (Naoyuki Iwase).
«Симметрикс» (авт. Т. Китазава и Н. Ивазе). Решите три задачи: соберите симметричные фигуры, используя поочередно два, три и все четыре элемента этого набора.
«Покрывашка Yy» (авт. Йошиюки Котани). Из этих наборов скомпонуйте одинаковые фигуры.
Казалось бы, широкая постановка задачи предоставляет и широкие возможности её решения. Но это не так. Как правило, такие головоломки гораздо труднее «силуэтных».
И, наконец, самые экзотические представители плоскостных головоломок - парадоксальные задачи на складывание. В такого рода задачах поставленная цель кажется очевидно недостижимой, противоречащей здравому смыслу или законам природы.
Основоположником этой области занимательной математики является великий греческий учёный Евклид (ок. 300 лет до н.э.) Кроме своего знаменитого труда «Начала», ставшего фундаментом геометрии для последующих двух тысячелетий цивилизации, Евклид написал удивительную книгу «Псевдария». Она представляла собой сборник разного рода ошибочных рассуждений, которые может сделать юноша, приступающий к изучению математики. Самостоятельное отыскание этих ошибок в рассуждениях – отличная гимнастика для ума, превосходные упражнения для любого думающего человека.
Остаётся сожалеть, что этот труд Евклида до нас не дошел. Но на протяжении столетий до наших дней последователи Евклида в учебниках математики неизменно используют разного рода софизмы и парадоксы, эти математические изюминки, оформленные в виде занимательных задач различной сложности.
Примером такой классической головоломки является геометрический парадокс, широко известный под названием «64 = 65».
«64 = 65». Возьмём квадрат и разделим его стороны на 8 равных частей. Проведём линии, параллельные сторонам, получим 64 маленьких квадратика. Разрежем исходный квадрат на 4 части (рис. вверху слева). Переложим эти части (рис. вверху справа) и получим прямоугольник, площадь которого равна 5 х 13 = 65 квадратиков! Откуда появился лишний квадратик?
Среди современных разработчиков парадоксальных головоломок – проживающий ныне во Флоренции голландец Ник Нойваль (Nick Neuval), а также профессиональный математик из Калифорнии Дик Хесс (Dick Hess).
Пример парадоксальной геометрической головоломки отечественного происхождения – «Бермудский Треугольник-2». В треугольной нише находятся 9 элементов. Практически вся площадь треугольной ниши занята. Тем не менее, в эту нишу необходимо вместить ещё один – десятый – элемент.
Геометрический парадокс «Бермудский Треугольник-2» (авт. В. Красноухов). Задача и решение.
Трёхмерные головоломки на складывание, или объёмные упаковки
В этом классе наиболее известны «Кубики для всех». Придумал эту головоломку датчанин Пит Хейн, профессиональный физик и поэт, автор популярных в сороковые годы в Дании эпиграмм. Вот одна из них: «В задачах тех ищи удачи, где получить рискуешь сдачи». Кроме стихов и эпиграмм, Пит Хейн изобретал математические игры, в частности он является автором популярных на Западе игр Гекс и Так-тикс.
Идея этой головоломки пришла в голову Питу Хейну во время лекции Вернера Гейзенберга по квантовой механике. Пока знаменитый физик говорил о пространстве, разделенном на кубики, воображение Пита Хейна подсказало ему формулировку геометрической теоремы: если взять все неправильные фигуры, составленные из трёх и четырёх кубиков, склеенных между собой гранями, то из них можно составить кубик большего размера.
В те же годы фирмы, занимающиеся производством игрушек, выпустили кубики Хейна в продажу под названием «Сома», и эта головоломка быстро завоевала популярность во всём мире.
Второе дыхание для этого изобретения наступило, когда наш выдающийся педагог Б. П. Никитин включил эту игру-головоломку в число развивающих игр, на примере которых разработал свою систему творческих занятий с детьми. Поэтому в нашей стране эта игра по праву называется также «Кубиками Никитина».
Эта игра явилась базой для изобретения других головоломок данного класса. В частности, интересные варианты предложила Ирина Новичкова из г. Москвы. На некоторых гранях элементов этой головоломки выполнены полусферические «заклёпки», на других гранях - углубления. Эти особенности затрудняют решение задачи, что и требуется для «продвинутых» любителей поломать голову. При правильной сборке такой Куб не рассыпается и выглядит как большая игральная кость с нанесёнными на её гранях символами («заклёпками») от 1 до 6.
«Кубик для путешественников» (авт. И. Новичкова). Название головоломки не случайно – надев её на шею наподобие бус, можно коротать время во время поездок, транспортных пробок, не рискуя обронить игровые элементы.
Как уже говорилось, задачей в головоломках этого класса является собрать объект из составных элементов так, чтобы он отвечал некоторым дополнительно заданным условиям. Эти условия могут быть довольно необычными. Так, в головоломке «Антислайд» Вила Страйбоса (Wil Strijbos) из нидерландского города Венло реализовано условие - обеспечить «неперемещаемость» элементов.
.
«Антислайд» (авт. В. Страйбос). Эта разработка была отмечена высшей наградой на всемирных соревнованиях по дизайну головоломок, которые проводились в японском городе Хикими в 1994 году.
«Антислайд» состоит из прозрачной коробочки с крышкой, с внутренним размером 4х4х4, и 15 шт. одинаковых прямоугольных элементов размером 1х2х2. Задача – уложить все 15 элементов в коробочке так, чтобы (при закрытой крышке) ни один элемент не мог перемещаться. Отсюда ясно название головоломки (anti – против, slide – скользить).
Когда справитесь с этой задачей, извлеките из коробочки один элемент и упакуйте снова оставшиеся 14 элементов так, чтобы они не перемещались внутри коробки. После этого попытайтесь решить задачу для 13, и, наконец, для 12 элементов. Пустого места в коробочке становится все больше и больше, а задача упаковки – все труднее и труднее.
Наиболее полное исследование объёмных упаковок провели Кевин Холмс (Kevin Holmes), Великобритания и Рик ван Грол (Rik van Grol), Нидерланды. В своём сборнике «A Compendium of Cube-Assembly Puzzles using Polycube Shapes», 2002, они собрали и обобщили существующую информацию на тему сборки кубов из поликубиков (так называют наборы элементов, образованных «склейкой» кубиков по граням). В сборник включено 156 известных на тот момент конструкций, реализующих сборки 3х3х3, 4х4х4, 5х5х5 и 6х6х6.
Одна из наиболее красивых головоломок в этом сборнике – «Спрятанный куб» известного российского изобретателя и автора книг по головоломкам Леонида Мочалова.
«Спрятанный куб» (авт. Л. Мочалов). Задача: используя этот набор из 9 элементов, собрать куб 6х6х6.
Естественно, кроме поликубиков, в объёмных упаковочных головоломках часто используются игровые элементы сферических и иных геометрических форм, а также их комбинации.
«Коктейль с вишнями» (авт. И. Новичкова). Головоломка из семейства объёмных упаковок: поместить в «бокал» шесть «льдинок» и две «вишенки»
Так, составными частями пирамидки Г. Яркового являются две пары зеркально симметричных элементов, каждый из которых состоит из пяти шариков. Для своей конструкции Геннадий Иванович использовал обычные стальные шарики от подшипников, соединив их между собой сваркой.
«Пирамидка» (авт. Г. Ярковой, 1999).
Кроме того, сама процедура упаковки может быть достаточно головоломной. Так, в головоломке Хироказу Ивазава (Hirokazu Iwasawa) из Японии, простая, казалось бы, задача – разместить в коробочке три прилагаемых элемента – решается путём многоходовых пространственных манёвров.
«ODD-Puzzle» (авт. Х. Ивазава). Свободного места для размещения данных элементов внутри коробочки вполне достаточно, но как туда попасть? Потребуется довольно сложное пространственное маневрирование.
Итак, мы рассмотрели головоломки, задачей в которых является собрать или упаковать заданный объект из составных элементов. Усидчивость при решении таких головоломок необходима, но не достаточна. Потребуется привлечь на помощь логику, изобретательность, нетривиальное мышление.
Интересно отметить, что с подобного рода задачами, связанными со сборкой или упаковкой, женщины справляется гораздо быстрее мужчин. Дело в том, что подобные задачи им приходится решать постоянно - и дома, и на работе. Расставить мебель, аккуратно упаковать чемодан уезжающему в командировку мужу, скомпоновать искусственный спутник Земли, разместиться в битком набитой электричке…
Следующий класс – головоломки, задача в которых прямо противоположная - разобрать объект.
Автор статьи: к.т.н. Владимир Иванович Красноухов